Cho biết \(\int\limits_1^3 {\frac{{dx}}{{{e^x} - 1}}}  = a\ln ({e^2} + e + 1) - 2b\) với a, b là các số nguyên.

* Hướng dẫn giải

\(\begin{array}{l}
\int\limits_1^3 {\frac{{dx}}{{{e^x} - 1}}}  = \int\limits_1^3 {\frac{{{e^x}dx}}{{{e^x}({e^x} - 1)}}}  = \int\limits_1^3 {\frac{{d({e^x})}}{{{e^x}({e^x} - 1)}}} \\
 = \int\limits_1^3 {(\frac{{d({e^x} - 1)}}{{{e^x} - 1}} - } \frac{{d({e^x})}}{{{e^x}}})\\
 = (\ln \left| {{e^x} - 1} \right| - \ln \left| {{e^x}} \right|)\left| \begin{array}{l}
3\\
1
\end{array} \right.\\
 = \ln ({e^3} - 1) - \ln {e^3} - \ln (e - 1) + \ln e\\
 = \ln ({e^2} + e + 1) - 2\\
 \Rightarrow a\ln ({e^2} + e + 1) - 2b = \ln ({e^2} + e + 1) - 2\\
 \Rightarrow a = 1;b = 1 \Rightarrow K = a + b = 2
\end{array}\)