Biết \(\int\limits_1^e {\frac{{\sqrt {1 + 3\ln x} .

* Hướng dẫn giải

\(\int\limits_1^e {\frac{{\sqrt {1 + 3\ln x} .\ln x}}{x}} dx\)

Đặt

\(\begin{array}{l}
\sqrt {1 + 3\ln x}  = t\\
 \Rightarrow 1 + 3\ln x = {t^2}\\
 \Rightarrow \frac{3}{x}dx = 2tdt\\
 \Rightarrow \frac{3}{{x\sqrt {1 + 3{\mathop{\rm lnx}\nolimits} } }}dx = dt\\
 \Rightarrow \int\limits_1^e {\frac{{\sqrt {1 + 3\ln x} .\ln x}}{x}} dx = \int\limits_1^2 {\frac{{t.2t\left( {{t^2} - 1} \right)}}{9}} dt\\
 = \left. {\frac{2}{{45}}{t^5} - \frac{2}{{27}}{t^3}} \right|_1^2 = \frac{{116}}{{135}}
\end{array}\)