Tìm các giá trị của tham số m để phương trình \(\frac{{{{\log }_2}(mx)}}{{{{\log }_2}(x + 1)}} = 2\) có nghiệm duy nhất 

* Hướng dẫn giải

 \(\begin{array}{l}
D:\left\{ \begin{array}{l}
mx > 0\\
x >  - 1\\
x \ne 0
\end{array} \right.{\rm{  }}\left( * \right)\\
\frac{{{{\log }_2}(mx)}}{{{{\log }_2}(x + 1)}} = 2(1)\\
 \Leftrightarrow {\log _2}(mx) = 2{\log _2}(x + 1)\\
 \Leftrightarrow {\log _2}\left( {mx} \right) = {\log _2}{\left( {x + 1} \right)^2}\\
 \Leftrightarrow mx = {(x + 1)^2}\\
 \Leftrightarrow {x^2} + (2 - m)x + 1 = 0{\rm{  }}\left( 2 \right)
\end{array}\)

\( \Leftrightarrow m = \frac{{{x^2} + 2x + 1}}{x} \Leftrightarrow m = x + \frac{1}{x} + 2\)

Để phương trình có nghiệm duy nhất thì m cắt hàm số f(x) tại 1 điểm duy nhất.

Xét hàm số

\(\begin{array}{l}
f\left( x \right) = x + \frac{1}{x} + 2\\
f'\left( x \right) = 1 - \frac{1}{{{x^2}}}\\
f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1\\
x =  - 1
\end{array} \right.
\end{array}\)

Từ bảng biến thiên và điều kiện ta có m < 0 và m = 4 thỏa mãn đề bài.