Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình dưới đây có nghiệm thực ?\(m + \cos x\sqrt {{{\cos }^2}x + 2}&nb

* Hướng dẫn giải

\(\begin{array}{l}
m + \cos x\sqrt {{{\cos }^2}x + 2}  + 2\cos x + \left( {\cos x + m} \right)\sqrt {{{\left( {\cos x + m} \right)}^2} + 2}  = 0\\
 \Leftrightarrow \cos x + \cos x\sqrt {{{\cos }^2}x + 2}  =  - \left( {\cos x + m} \right) - \left( {\cos x + m} \right)\sqrt {{{\left( {\cos x + m} \right)}^2} + 2} \begin{array}{*{20}{c}}
{}&{\left( 1 \right)}
\end{array}
\end{array}\)

Xét hàm số \(\begin{array}{l}
f\left( t \right) = t + t\sqrt {{t^2} + 2} \\
f'\left( t \right) = 1 + \sqrt {{t^2} + 2}  + 2{t^2}\sqrt {{t^2} + 2}  > 0
\end{array}\)

Hàm số đồng biến trên D

Do đó (1) có nghiệm

 \(\begin{array}{l}
\cos x =  - \left( {\cos x + m} \right)\\
 \Leftrightarrow m = 2\cos x\\
 \Rightarrow  - 2 \le m \le 2
\end{array}\)