Cho số phức \(z = a + bi\) thỏa mãn \(\left| {z - i} \right| = 2\) và \(\left| {z + 3i} \right| + 2\left| {z - 4 - i} \right|\) 

* Hướng dẫn giải

Gọi M(a,b) là điểm biểu diễn của z

\(\begin{array}{l}
|z - i| = 2\\
 <  =  > \sqrt {{a^2} + {{(b - 1)}^2}}  = 2\\
 <  =  > {a^2} + {(b - 1)^2} = 4
\end{array}\)

=> M thuộc đường tròn (C) tâm I(0,1), R = 2

\(\begin{array}{l}
|z + 3i| + 2|z - 4 - i| = \sqrt {{a^2} + {{(b + 3)}^2}}  + 2\sqrt {{{(a - 4)}^2} + {{(b - 1)}^2}} \\
 = MA + 2MB{\rm{        (A(0, - 3),B(4,1))}}\\
{\rm{ = 2MO + 2MB}}\\
 = 2(MO + MB)\\
 \ge 2OB
\end{array}\)

=> Dấu “=” khi M nằm trên OB

Mà M nằm trên (C)  => M là giao điểm của (C) và OB

=> \(M(\frac{{4 + 8\sqrt {13} }}{{17}};\frac{{1 + 2\sqrt {13} }}{{17}})\)

(Vì hoàng độ điểm M phải dương, vì hoành độ B dương, vẽ hình minh họa sẽ thấy)

=> \(a + b = \frac{{4 + 8\sqrt {13} }}{{17}} + \frac{{1 + 2\sqrt {13} }}{{17}} = \frac{{5 + 10\sqrt {13} }}{{17}}\)