Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) thỏa mãn \({u_{n + 1}} = 3{u_n} - 2{u_{n - 1}}\) và \({u_1} = {\log _2}5,{\mkern 1mu} {\rm{\;}}

* Hướng dẫn giải

\(\begin{array}{l}
{u_{n + 1}} = 3{u_n} - 2{u_{n - 1}} \Rightarrow {u_3} = 3{u_2} - 2{u_1}\\
 \Rightarrow {u_3} = {\log _2}\frac{5}{4} = {\log _2}5 - 2
\end{array}\)

Xét \({u_n} = {a_1}x_1^n + {a_2}x_2^n\) với \({x_1},{x_2}\) là nghiệm của phương trình \({x^2} - 3x + 2 = 0\)

\({x_1} = 2;{x_2} = 1\) ta được \({u_n} = {a_1}{.2^n} + {a_2}\)

Với n = 1 ta có \({\log _2}5 = 2{a_1} + {a_2}\)

Với n = 2 ta có \({\log _2}10 = 4{a_1} + {a_2}\)

\( \Rightarrow {a_1} = \frac{1}{2},{a_2} = {\log _2}\frac{5}{2}\)

Do đó:

\(\begin{array}{l}
{u_n} = {2^{n - 1}} + {\log _2}\frac{5}{2} > 1024 + {\log _2}\frac{5}{2}\\
 \Rightarrow {2^{n - 1}} > 1024 \Rightarrow n > 11
\end{array}\)