Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R thỏa mãn f(1) = 1 và (intlimits_0^1 {fleft( x ight)dx = frac{1}{3}} ).

* Hướng dẫn giải

Ta có:

\(\begin{array}{l}
I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin 2x.f'\left( {{\mathop{\rm sinx}\nolimits} } \right)dx} \\
 = 2\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin x.f'\left( {\sin x} \right)\cos xdx} 
\end{array}\) 

Đặt \(t = \sin x \Rightarrow dt = \cos xdx\) 

Đổi cận: \(x = 0 \Rightarrow t = 0;\,x = \frac{\pi }{2} \Rightarrow t = 1\) 

Khi đó:

\(\begin{array}{l}
I = 2\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin x.f'\left( {\sin x} \right)\cos xdx} \\
 = 2\int\limits_0^1 {t.f'\left( t \right)dt = 2\int\limits_0^1 {x.f'\left( x \right)dx} } 
\end{array}\) 

Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l}
u = x\\
dv = f'\left( x \right)dx
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = dx\\
v = f\left( x \right)
\end{array} \right.\) 

Khi đó: \(I = 2\int\limits_0^1 {x.f'\left( x \right)dx = 2\left[ {\left. {x.f\left( x \right)} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} } \right]} \) 

\( = 2\left[ {f\left( 1 \right) - \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} } \right] = 2\left( {1 - \frac{1}{3}} \right) = \frac{4}{3}\)