Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;2;3).

* Hướng dẫn giải

Gọi A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c)

\( \Rightarrow OA = \left| a \right|\,,OB = \left| b \right|\,,OC = \left| c \right|\) 

Để O.ABC là hình chóp đều \(\left| a \right| = \left| b \right| = \left| c \right|\).

Mặt phẳng đoạn chắn đi qua các điểm A, B, C có dạng:

\(\left( P \right):\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\) 

Mặt phẳng (P) đi qua điểm M nên: \(\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} = 1\) 

Từ đó ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}
\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} = 1\\
\left| a \right| = \left| b \right| = \left| c \right|
\end{array} \right.\)

Trường hợp 1: b = c = a khi đó ta được:

\(\frac{1}{a} + \frac{2}{a} + \frac{3}{a} = 1 \Leftrightarrow a = 6\) 

Phương trình mặt phẳng:

\(\left( P \right):\frac{x}{6} + \frac{y}{6} + \frac{z}{6} = 1 \Leftrightarrow x + y + z - 6 = 0\)

 \(\Rightarrow \) Đáp án A đúng.

Trường hợp 2: \(b = c =  - a\) khi đó ta được:

\(\frac{1}{a} + \frac{2}{{ - a}} + \frac{3}{{ - a}} = 1 \Rightarrow a =  - 4\) 

Phương trình mặt phẳng:

\(\left( P \right) :\frac{x}{{ - 4}} + \frac{y}{4} + \frac{z}{4} = 1 \Leftrightarrow x - y - z + 4 = 0 \)

\(\Rightarrow \) Đáp án B đúng.

Trường hợp 3: \(b =  - a\,,c = a\) khi đó ta được:

\(\frac{1}{a} + \frac{2}{{ - a}} + \frac{3}{a} = 1 \Rightarrow a = 2\) 

Phương trình mặt phẳng:

\(\left( P \right) :\frac{x}{2} + \frac{y}{{ - 2}} + \frac{z}{2} = 1 \Leftrightarrow x - y + z - 2 = 0\)

\( \Rightarrow \) Đáp án D đúng.

Trường hợp 4: \(b = a\,,c =  - a\) khi đó ta được \(\frac{1}{a} + \frac{2}{a} + \frac{3}{{ - a}} = 1 \Leftrightarrow 0 = 1\) (vô lý)