Cho số phức \(z=a+bi\) \(\left( a,b\in \mathbb{R} \right)\) thỏa mãn \(z+2+i-\left| z \right|\left( 1+i \right)=0\) và \(\left| z \right|>1\). Tính \(P=a+b\).

* Hướng dẫn giải

\(z + 2 + i - \left| z \right|\left( {1 + i} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {a + 2} \right) + \left( {b + 1} \right)i = \left| z \right| + i\left| z \right|\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a + 2 = \left| z \right|\\
b + 1 = \left| z \right|
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a + 2 = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  & \left( 1 \right)\\
b + 1 = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  & \left( 2 \right)
\end{array} \right.\)

Lấy (1) trừ (2) theo vế ta được \(a - b + 1 = 0 \Leftrightarrow b = a + 1\). Thay vào (1) ta được

\(a + 2 = \sqrt {{a^2} + {{\left( {a + 1} \right)}^2}}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a + 2 > 1 & \left( {{\rm{do}}\,\left| z \right| > 1} \right)\\
{a^2} - 2a - 3 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow a = 3\). Suy ra b = 4

Do đó z = 3 + 4i có |z| = 5 > 1(thỏa điều kiện |z| > 1).

Vậy P = a + b = 3 + 4 = 7