Có bao nhiêu số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| z \right|=\left| z+\bar{z} \right|=1\)?

* Hướng dẫn giải

Giả sử \(z=x+yi\) \(\left( x,\text{ }y\in \mathbb{R} \right)\)\(\Rightarrow \bar{z}=x-yi\Rightarrow z+\bar{z}=2x\).

Bài ra ta có \(\left\{ \begin{array}{l}
\left| z \right| = 1\\
\left| {z + \bar z} \right| = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {{x^2} + {y^2}}  = 1\\
\left| {2x} \right| = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} = 1\\
x =  \pm \frac{1}{2}
\end{array} \right.\)

Với \(x=\pm \frac{1}{2}\Rightarrow \frac{1}{4}+{{y}^{2}}=1\Leftrightarrow y=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}\).

Do đó có 4 số phức thỏa mãn là \({{z}_{1}}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\), \({{z}_{2}}=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\), \({{z}_{3}}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\), \({{z}_{4}}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\).