Cho số phức z và w thỏa mãn \(z+w=3+4i\) và \(\left| z-w \right|=9\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(T=\left| z \right|+\left| w \right|\).

* Hướng dẫn giải

Đặt \(z=x+yi\left( x,y\in \mathbb{R} \right)\). Do \(z+w=3+4i\) nên \(w=\left( 3-x \right)+\left( 4-y \right)i\).

Mặt khác \(\left| z-w \right|=9\) nên \(\left| z-w \right|=\sqrt{{{\left( 2x-3 \right)}^{2}}+{{\left( 2y-4 \right)}^{2}}}=\sqrt{4{{x}^{2}}+4{{y}^{2}}-12x-16y+25}=9\)

\(\Leftrightarrow \(\(2{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}-6x-8y=28\)\(\left( 1 \right)\). Suy ra \(T=\left| z \right|+\left| w \right|=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}+\sqrt{{{\left( 3-x \right)}^{2}}+{{\left( 4-y \right)}^{2}}}\).

Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta có \({{T}^{2}}\le 2\left( 2{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}-6x-8y+25 \right)\) \(\left( 2 \right)\)

Dấu \(''=''\) xảy ra khi \(\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 3-x \right)}^{2}}+{{\left( 4-y \right)}^{2}}}\).

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta có \({{T}^{2}}\le 2.\left( 28+25 \right)\Leftrightarrow -\sqrt{106}\le T\le \sqrt{106}\). Vậy \(MaxT=\sqrt{106}\).