Cho số phức z thoả mãn \(\left| z-3-4i \right|=\sqrt{5}\). Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P={{\left| z+2 \right|}^{2}}-{{\left| z-i \ri...

* Hướng dẫn giải

Giả sử \(z=a+bi\) (\(a,\,b\in \mathbb{R}\) ).

\(\left| z-3-4i \right|=\sqrt{5}\Leftrightarrow {{\left( a-3 \right)}^{2}}+{{\left( b-4 \right)}^{2}}=5\)(1).

\(P={{\left| z+2 \right|}^{2}}-{{\left| z-i \right|}^{2}}={{\left( a+2 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}-\left[ {{a}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}} \right]=4a+2b+3\)(2).

Từ (1) và (2) ta có \(20{{a}^{2}}+\left( 64-8P \right)a+{{P}^{2}}-22P+137=0\) (*).

Phương trình (*) có nghiệm khi \({\Delta }'=-4{{P}^{2}}+184P-1716\ge 0\)

\(\Leftrightarrow 13\le P\le 33\Rightarrow \left| w \right|=\sqrt{1258}\).