Cho số phức z thỏa mãn \(4\left| z+i \right|+3\left| z-i \right|=10\). Giá trị nhỏ nhất của \(\left| z \right|\) bằng:

* Hướng dẫn giải

Gọi \(z=a+bi\) \(\left( a,b\in \mathbb{R} \right)\). Khi đó:

\(4\left| z+i \right|+3\left| z-i \right|\) \(=4\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( b+1 \right)}^{2}}}+3\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}}\(\(\le \left( {{4}^{2}}+{{3}^{2}} \right)\left( {{a}^{2}}+{{\left( b+1 \right)}^{2}}+{{a}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}} \right)\)

\(\Leftrightarrow {{10}^{2}}\le 25\left( 2{{\left| z \right|}^{2}}+2 \right)\) \(\Leftrightarrow \left| z \right|\ge 1\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(\left| z \right|\) là 1, đạt khi \(a=\frac{24}{25};\text{ }b=\frac{7}{25}\( hay \(z=\frac{24}{25}+\frac{7}{25}i\)