Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \(\left| \frac{z-1}{z-i} \right|=\left| \frac{z-3i}{z+i} \right|=1\)?

* Hướng dẫn giải

Gọi \(z = a + bi,\left( {a,\,b \in R} \right)\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\left| {z - 1} \right| = \left| {z - i} \right|\\
\left| {z - 3i} \right| = \left| {z + i} \right|
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {a - 1} \right)^2} + {b^2} = {a^2} + {\left( {b - 1} \right)^2}\\
{a^2} + {\left( {b - 3} \right)^2} = {a^2} + {\left( {b + 1} \right)^2}
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
 - 2a + 1 =  - 2b + 1\\
 - 6b + 9 = 2b + 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 1\\
b = 1
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy có một số phức thỏa mãn là z = 1 + i