Số phức \(z=a+bi\) ( với a, b là số nguyên) thỏa mãn \(\left( 1-3i \right)z\) là số thực và \(\left| \overline{z}-2+5i \right|=1\). Khi đó a+b là

* Hướng dẫn giải

Ta có: \(\left( {1 - 3i} \right)z = \left( {1 - 3i} \right)\left( {a + bi} \right) = a + 3b + \left( {b - 3a} \right)i\)

Vì \(\left( {1 - 3i} \right)z\) là số thực nên  \(b - 3a = 0 \Rightarrow b = 3a(1)\).

 \(\left| {\overline z  - 2 + 5i} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {a - 2 + \left( {5 - b} \right)i} \right| = 1 \Leftrightarrow {\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {5 - b} \right)^2} = 1(2)\)

Thế (1) vào (2) ta có: 

\(\begin{array}{l}
{\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {5 - 3a} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow 10{a^2} - 34a + 28 = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = 2 \Rightarrow b = 6\\
a = \frac{7}{5}{\rm{ (}}loai)
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy a + b = 2 + 6 = 8