Bất phương trình \({2.5^{x + 2}} + {5.2^{x + 2}} \le 133.

* Hướng dẫn giải

Ta có: \({2.5^{x + 2}} + {5.2^{x + 2}} \le 133.\sqrt {{{10}^x}}  \Leftrightarrow {50.5^x} + {20.2^x} \le 133\sqrt {{{10}^x}} \) chia hai vế bất phương trình cho \({5^x}\) ta được : \(50 + \frac{{{{20.2}^x}}}{{{5^x}}} \le \frac{{133\sqrt {{{10}^x}} }}{{{5^x}}} \Leftrightarrow 50 + 20.{\left( {\frac{2}{5}} \right)^x} \le 133.{\left( {\sqrt {\frac{2}{5}} } \right)^x}\) (1)

Đặt \(t = {\left( {\sqrt {\frac{2}{5}} } \right)^x},(t \ge 0)\) phương trình (1) trở thành: \(20{t^2} - 133t + 50 \le 0 \Leftrightarrow \frac{2}{5} \le t \le \frac{{25}}{4}\)

Khi đó ta có: \(\frac{2}{5} \le {\left( {\sqrt {\frac{2}{5}} } \right)^x} \le \frac{{25}}{4} \Leftrightarrow {\left( {\frac{2}{5}} \right)^2} \le {\left( {\frac{2}{5}} \right)^x} \le {\left( {\frac{2}{5}} \right)^{ - 4}} \Leftrightarrow  - 4 \le x \le 2\) nên \(a =  - 4,b = 2\)

Vậy \(b - 2a = 10\)