Tìm \(m\) để phương trình :\(\left( {m - 1} \right)\log _{\frac{1}{2}}^2{\left( {x - 2} \right)^2} + 4\left( {m - 5} \right){\log _{\fra

* Hướng dẫn giải

Đặt \(t = {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x - 2} \right)\). Do \(x \in \left[ {\frac{5}{2};4} \right] \Rightarrow t \in \left[ { - 1;1} \right]\)

\(4\left( {m - 1} \right){t^2} + 4(m - 5)t + 4m - 4 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right){t^2} + \left( {m - 5} \right)t + m - 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow m\left( {{t^2} + t + 1} \right) = {t^2} + 5t + 1\)

\( \Leftrightarrow m = \frac{{{t^2} + 5t + 1}}{{{t^2} + t + 1}}\)

\( \Leftrightarrow g\left( m \right) = f\left( t \right)\)

Xét \(f\left( t \right) = \frac{{{t^2} + 5t + 1}}{{{t^2} + t + 1}}\) với \(t \in \left[ { - 1;1} \right]\)

\(f'\left( t \right) = \frac{{4 - 4{t^2}}}{{{{\left( {{t^2} + t + 1} \right)}^2}}} \ge 0\) \(\forall t \in \left[ { - 1;1} \right]\) \( \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên đoạn \(\left[ { - 1;1} \right]\)

Để phương trình có nghiệm khi hai đồ thị \(g\left( m \right);f\left( t \right)\) cắt nhau \(\forall t \in \left[ { - 1;1} \right]\) \( \Rightarrow f( - 1) \le g\left( m \right) \le f\left( 1 \right) \Leftrightarrow  - 3 \le m \le \frac{7}{3}\)