Số các giá trị nguyên dương để bất phương trình \({3^{{{\cos }^2}x}} + {2^{{{\sin }^2}x}} \ge m\)

* Hướng dẫn giải

Đặt\({\sin ^2}x = t\)\(\left( {0 \le t \le 1} \right)\)

\({3^{{{\cos }^2}x}} + {2^{{{\sin }^2}x}} \ge m{.3^{{{\sin }^2}x}} \Leftrightarrow {3^{\left( {1 - t} \right)}} + {2^t} \ge {3^t}\)\( \Leftrightarrow \frac{3}{{{3^t}}} + {2^t} \ge m{.3^t} \Leftrightarrow \frac{3}{{{{\left( {{3^t}} \right)}^2}}} + {\left( {\frac{2}{3}} \right)^t} \ge m\)

Đặt:\(y = \frac{3}{{{9^t}}} + {\left( {\frac{2}{3}} \right)^t}\left( {0 \le t \le 1} \right)\)

\(y' = 3.{\left( {\frac{1}{9}} \right)^t}.\ln \frac{1}{9} + {\left( {\frac{2}{3}} \right)^t}.\ln \frac{2}{3} < 0\)\( \Rightarrow \)Hàm số luôn nghịch biến

Dựa vào bảng biến thiên suy ra\(m \le 1\) thì phương trình có nghiệm

Suy ra các giá trị nguyên dương cần tìm\(m = 1\).