Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình \({\left( {7 - 3\sqrt 5 } \right)^{{x^2}}} + m{\left( {7 + 3\sqrt 5 } \right)^{{x^2}

* Hướng dẫn giải

PT \( \Leftrightarrow {\left( {\frac{{7 - 3\sqrt 5 }}{2}} \right)^{{x^2}}} + m{\left( {\frac{{7 + 3\sqrt 5 }}{2}} \right)^{{x^2}}} = \frac{1}{2}\).

Đặt \(t = {\left( {\frac{{7 - 3\sqrt 5 }}{2}} \right)^{{x^2}}} \in \left( {0;1} \right]\). Khi đó PT \( \Rightarrow 2{t^2} - t + 2m = 0 \Leftrightarrow 2m = t - 2{t^2} = g\left( t \right)\)       (1).

Ta có \(g'\left( t \right) = 1 - 4t = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{4}\).

Suy ra bảng biến thiên: 

PT đã cho có đúng 2 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \)(1) có đúng 1 nghiệm \(t \in \left( {0;1} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2m = \frac{1}{8}\\ - 1 < 2m \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \frac{1}{{16}}\\ - \frac{1}{2} < m \le 0\end{array} \right.\).