Số nghiệm thực phân biệt của phương trình \({2^{x + \frac{1}{{4x}}}} + {2^{\frac{x}{4} + \frac{1}{x}}} = 4\) là

* Hướng dẫn giải

Điều kiện \(x \ne 0\)

- Nếu \(x > 0 \Rightarrow x + \frac{1}{{4x}} \ge 1\), dấu bằng xẩy ra khi \(x = \frac{1}{2}\) và \(\frac{x}{4} + \frac{1}{x} \ge 1\),

dấu bằng xẩy ra khi \(x = 2\) suy ra \({2^{x + \frac{1}{{4x}}}} + {2^{\frac{x}{4} + \frac{1}{x}}} > 4,\,\forall x > 0\)

- Nếu \(x < 0 \Rightarrow  - x - \frac{1}{{4x}} \ge 1 \Rightarrow x + \frac{1}{{4x}} \le  - 1 \Rightarrow {2^{x + \frac{1}{{4x}}}} \le \frac{1}{2}\), dấu bằng xẩy ra khi \(x =  - \frac{1}{2}\)

và \( - \frac{x}{4} - \frac{1}{x} \ge 1 \Rightarrow \frac{x}{4} + \frac{1}{x} \le  - 1 \Rightarrow {2^{\frac{x}{4} + \frac{1}{x}}} \le \frac{1}{2}\), dấu bằng xẩy ra khi \(x = 2\)

Suy ra \({2^{x + \frac{1}{{4x}}}} + {2^{\frac{x}{4} + \frac{1}{x}}} < 1,\,\forall x < 0\)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.