Số nghiệm của phương trình \({\log _3}\left| {{x^2} - \sqrt 2 x} \right| = {\log _5}\left( {{x^2} - \sqrt 2 x + 2} \right)\) là

* Hướng dẫn giải

ĐK: \(x \ne 0;\,\,x \ne \sqrt 2 \).

Đặt \(t = {x^2} - \sqrt 2 x\)\( \Rightarrow {x^2} - \sqrt 2 x + 2 = t + 2\)

\( \Rightarrow {\log _3}\left| t \right| = {\log _5}\left( {t + 2} \right)\).

Đặt \({\log _3}\left| t \right| = {\log _5}\left( {t + 2} \right) = u\)

\(\left\{ \begin{array}{l}{\log _3}\left| t \right| = u\\{\log _5}\left( {t + 2} \right) = u\end{array} \right. \Rightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}\left| t \right| = {3^u}\\t + 2 = {5^u}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left| {{5^u} - 2} \right| = {3^u}\)

\( \Rightarrow \)\(\left[ \begin{array}{l}{5^u} - 2 = {3^u}\\{5^u} - 2 =  - {3^u}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{5^u} + {3^u} = 2\\{3^u} + 2 = {5^u}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{5^u} + {3^u} = 2\quad \quad \quad \quad (1)\quad \\{\left( {\frac{3}{5}} \right)^u} + 2{\left( {\frac{1}{5}} \right)^u} = 1\quad (2)\end{array} \right..\)

• Xét \(\left( 1 \right):{5^u} + {3^u} = 2\)

Ta thấy \(u = 0\) là 1 nghiệm, dùng phương pháp hàm số hoặc dùng BĐT để chứng minh nghiệm \(u = 0\) là duy nhất.

Với \(u = 0 \Rightarrow t =  - 1 \Rightarrow {x^2} - \sqrt 2 x + 1 = 0\), phương trình này vô nghiệm.

• Xét \(\left( 2 \right):{\left( {\frac{3}{5}} \right)^u} + 2{\left( {\frac{1}{5}} \right)^u} = 1\)

Ta thấy \(u = 1\) là 1 nghiệm, dùng phương pháp hàm số hoặc dùng BĐT để chứng minh nghiệm \(u = 1\) là duy nhất.

Với \(u = 0 \Rightarrow t = 3 \Rightarrow {x^2} - \sqrt 2 x - 3 = 0\), phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa \(x \ne 0;\,\,x \ne \sqrt 2 \).