Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: \({\log _3}(1 - {x^2}) + {\lo

* Hướng dẫn giải

\({\log _3}(1 - {x^2}) + {\log _{\frac{1}{3}}}(x + m - 4) = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - {x^2} > 0\\{\log _3}(1 - {x^2}) = {\log _3}(x + m - 4)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \in \left( { - 1;1} \right)\\1 - {x^2} = x + m - 4\end{array} \right.\)

Yêu cầu bài toán\( \Leftrightarrow f\left( x \right) = {x^2} + x + m - 5 = 0\) có 2 nghiệm phân biệt \( \in \left( { - 1;1} \right)\)

Cách 1: Dùng định lí về dấu tam thức bậc hai.

Để thỏa yêu cầu bài toán ta phải có phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm thỏa: \( - 1 < {x_1} < {x_2} < 1\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a.f\left( { - 1} \right) > 0\\a.f\left( 1 \right) > 0\\\Delta  > 0\\ - 1 < \frac{S}{2} < 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 5 > 0\\m - 3 > 0\\21 - 4m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 5 < m < \frac{{21}}{4}\).

Cách 2: Với điều kiện có nghiệm, tìm các nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = 0\)rồi so sánh trực tiếp các nghiệm với \(1\) và \( - 1\) .

Cách 3: Dùng đồ thị

 Đường thẳng \(y =  - m\) cắt đồ thị hàm số \(y = {x^2} + x - 5\) tại hai điểm phân biệt trong khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\) khi và chỉ khi đường thẳng \(y =  - m\) cắt đồ thị hàm số \(y = {x^2} + x - 5\)tại hai điểm phân biệt có hoành độ \( \in \left( { - 1;1} \right)\).

Cách 4: Dùng đạo hàm

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} + x - 5 \Rightarrow f'\left( x \right) = 2x + 1 = 0 \Rightarrow x =  - \frac{1}{2}\)

Có \(f\left( { - \frac{1}{2}} \right) =  - \frac{{21}}{4};f\left( 1 \right) =  - 3;f\left( { - 1} \right) =  - 5\)

Ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, để có hai nghiệm phân biệt trong khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\) khi \( - \frac{{21}}{4} <  - m <  - 5 \Rightarrow \frac{{21}}{4} > m > 5\).

Cách 5: Dùng MTCT

Sau khi đưa về phương trình \({x^2} + x + m - 5 = 0\), ta nhập phương trình vào máy tính.

* Giải khi \(m =  - 0,2\): không thỏa\( \Rightarrow \)loại A, D.

* Giải khi \(m = 5\): không thỏa \( \Rightarrow \)loại B.