Tập tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình \({2^{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}.

* Hướng dẫn giải

Ta có \({2^{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}.lo{g_2}\left( {{x^2} - 2x + 3} \right) = {4^{\left| {x - m} \right|}}.lo{g_2}\left( {2\left| {x - m} \right| + 2} \right)\) \(\left( 1 \right)\)

\( \Leftrightarrow {2^{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}.lo{g_2}\left[ {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 2} \right] = {2^{2\left| {x - m} \right|}}.lo{g_2}\left( {2\left| {x - m} \right| + 2} \right)\) \(\left( 2 \right)\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {2^t}.lo{g_2}\left( {t + 2} \right),t \ge 0.\)

Vì \(f'\left( t \right) > 0,\forall t \ge 0 \Rightarrow \) hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)

Khi đó \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow f\left[ {{{\left( {x - 1} \right)}^2}} \right] = f\left( {2\left| {x - m} \right|} \right) \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = 2\left| {x - m} \right|\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - 4x + 1 + 2m = 0\left( 3 \right)\\{x^2} = 2m - 1\left( 4 \right)\end{array} \right.\)

Phương trình \(\left( 1 \right)\) có đúng ba nghiệm phân biệt nếu xảy ra các trường hợp sau:

+) PT \(\left( 3 \right)\) có nghiệm kép khác hai nghiệm phân biệt của PT\(\left( 4 \right)\)

\( \Rightarrow m = \frac{3}{2}\), thay vào PT \(\left( 4 \right)\) thỏa mãn

+) PT \(\left( 4 \right)\) có nghiệm kép khác hai nghiệm phân biệt của PT\(\left( 3 \right)\)

\( \Rightarrow m = \frac{1}{2}\), thay vào PT \(\left( 3 \right)\) thỏa mãn

+) PT \(\left( 4 \right)\) có hai nghiệm phân biệt và PT \(\left( 3 \right)\) có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm của hai PT trùng nhau

\(\left( 4 \right) \Leftrightarrow x =  \pm \sqrt {2m - 1} \),với \(\frac{1}{2} < m < \frac{3}{2}.\) Thay vào PT \(\left( 3 \right)\) tìm được \(m = 1.\)

KL: \(m \in \left\{ {\frac{1}{2};1;\frac{3}{2}} \right\}.\)