Tất cả các giá trị của \(m\) để bất phương trình \((3m + 1){12^x} + (2 - m){6^x} + {3^x}...

* Hướng dẫn giải

Đặt \({2^x} = t\). Do \(x > 0 \Rightarrow t > 1\).

Khi đó ta có : \((3m + 1){t^2} + (2 - m)t + 1 < 0,\,\,\forall t > 1\) \( \Leftrightarrow (3{t^2} - t)m <  - {t^2} - 2t - 1\,\,\,\forall t > 1 \Leftrightarrow m < \frac{{ - {t^2} - 2t - 1}}{{3{t^2} - t}}\,\,\,\forall t > 1\)

Xét hàm số \(f(t) = \frac{{ - {t^2} - 2t - 1}}{{3{t^2} - t}}\,\,tr{\rm{\^e }}n\,\,\left( {1; + \infty } \right)\)\( \Rightarrow f'(t) = \frac{{7{t^2} + 6t - 1}}{{{{(3{t^2} - t)}^2}}} > 0\,\,\,\forall t \in (1; + \infty )\)

BBT:

Do đó \(m \le \mathop {\lim }\limits_{t \to {1^ + }} f(t) =  - 2\) thỏa mãn yêu cầu bài toán