Tìm tập hợp các giá trị của tham số thực \(m\)để phương trình \({6^x} + \left( {3 - m} \right){2^x} - m = 0\) có nghiệm thuộ

* Hướng dẫn giải

Ta có: \({6^x} + \left( {3 - m} \right){2^x} - m = 0\)\(\left( 1 \right)\)\( \Leftrightarrow \)\(\frac{{{6^x} + {{3.2}^x}}}{{{2^x} + 1}} = m\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{6^x} + {{3.2}^x}}}{{{2^x} + 1}}\) xác định trên \(\mathbb{R}\), có \(f'\left( x \right) = \frac{{{{12}^x}.\ln 3 + {6^x}.\ln 6 + {{3.2}^x}.\ln 2}}{{{{\left( {{2^x} + 1} \right)}^2}}} > 0,\,\forall x \in \mathbb{R}\) nên hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\)

Suy ra \(0 < x < 1 \Leftrightarrow f\left( 0 \right) < f\left( x \right) < f\left( 1 \right) \Leftrightarrow 2 < f\left( x \right) < 4\) vì \(f\left( 0 \right) = 2,{\rm{ }}f\left( 1 \right) = 4.\)

Vậy phương trình \(\left( 1 \right)\)có nghiệm thuộc khoảng \(\left( {0;\,1} \right)\) khi \(m \in \left( {2;4} \right)\).