Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau: Số nghiệm thuộc đoạn \(\left[ 0;\frac{5\pi }{2} \right]\) của phương trình \(f\left( \sin x \right)=1\) là

* Hướng dẫn giải

Từ bảng biến thiên của hàm số \(y=f\left( x \right)\). Ta thấy phương trình \(f\left( x \right)=1\) có bốn nghiệm phân biệt lần lượt là \({{t}_{1}}<-1<{{t}_{2}}<0<{{t}_{3}}<1<{{t}_{4}}\).

Do đó

\(f\left( {\sin x} \right) = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin x = {t_1}\left( l \right)\\
\sin x = {t_2}\left( {t/m} \right)\\
\sin x = {t_3}\left( {t/m} \right)\\
\sin x = {t_4}\left( l \right)
\end{array} \right.\)

Xét hàm số t = sinx trên \(\left[ {0;\frac{{5\pi }}{2}} \right]\). Khi đó: \(t' = \cos x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{2}\\
x = \frac{{3\pi }}{2}\\
x = \frac{{5\pi }}{2}
\end{array} \right.\)

Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên của hàm số \(t=\sin x\), ta thấy phương trình:

+ \(\sin x={{t}_{2}}\in \left( -1;0 \right)\) có hai nghiệm phân biệt trên \(\left[ 0;\frac{5\pi }{2} \right]\).

+ \(\sin x={{t}_{1}}\in \left( 0;1 \right)\) có ba nghiệm phân biệt trên \(\left[ 0;\frac{5\pi }{2} \right]\).