Xét các số thực dương \(a\), \(b\), \(x\),\(y\) thỏa mãn \(a>1\), \(b>1\) và \({{a}^{x}}={{b}^{y}}=\sqrt{ab}\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=x+2y\) thuộc tập hợp nào dưới đây...

* Hướng dẫn giải

Theo bài ra ta có: \({{a}^{x}}={{b}^{y}}=\sqrt{ab}\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a^x} = {a^{\frac{1}{2}}}.{b^{\frac{1}{2}}}\\
{b^y} = {a^{\frac{1}{2}}}.{b^{\frac{1}{2}}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a^{x - \frac{1}{2}}} = {b^{\frac{1}{2}}}\\
{b^{y - \frac{1}{2}}} = {a^{\frac{1}{2}}}
\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}{\log _a}b\\
y - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}.{\log _b}a
\end{array} \right.\)

Do đó: \(P=x+2y\)\(=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}{{\log }_{a}}b+1+{{\log }_{b}}a\)\(=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}{{\log }_{a}}b+{{\log }_{b}}a\)

Đặt \(t={{\log }_{a}}b\). Vì \(a\), \(b>1\) nên \({{\log }_{a}}b>{{\log }_{a}}1=0\).

Khi đó \(P=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}t+\frac{1}{t}\)\(\ge \frac{3}{2}+2\sqrt{\frac{1}{2}t.\frac{1}{t}}=\frac{3}{2}+\sqrt{2}\).

Vậy \(P\)đạt giá trị nhỏ nhất là \(\frac{3}{2}+\sqrt{2}\) khi \(t=\sqrt{2}\) hay \(b={{a}^{\sqrt{2}}}\).