Từ một miếng tôn hình vuông cạnh a(cm) người ta muốn cắt ra một hình chữ nhật và hai hình tròn

* Hướng dẫn giải

Ta có 2 cách để cắt hình để tạo thành hình trụ.

+) Cách 1: Cắt thành 2 phần: Một phần có kích thước x và a. Một phần có kích thước a-x và a. Phần có kích thước x và a để làm hai đáy và phần có kích thước a-x và a cuộn dọc để tạo thành thân (tạo thành hình trụ có chiều cao bằng a). Điều kiện là \(x \le \frac{a}{{\pi  + 1}}\)  thì \(V = \frac{{\pi a{x^2}}}{4} \le \frac{{{a^3}\pi }}{{4{{\left( {\pi  + 1} \right)}^2}}}\).

+) Cách 2: Cắt như trên. Nhưng phần có kích thước a-x và a cuộn ngang để làm thành thân (tạo thành hình trụ có chiều cao là a-x). Điều kiện là \(x \le \frac{a}{\pi }\) do chu vi của hình tròn cắt ra phải bằng với phần đáy của hình chữ nhật. Khi đó \(V = \frac{{\pi \left( {a - x} \right){x^2}}}{4}\).

Xét hàm số \(V = \frac{{\pi \left( {a - x} \right){x^2}}}{4}\), với \(x \le \frac{a}{\pi }\).

Ta có \(V = \frac{{\pi \left( {a - x} \right){x^2}}}{4} \le \frac{{{a^3}\left( {\pi  - 1} \right)}}{{4{\pi ^2}}}\).

Vậy thể tích lớn nhất của khối trụ được tạo thành là: \(\frac{{{a^3}\left( {\pi  - 1} \right)}}{{4{\pi ^2}}}\).