Từ một tấm tôn có kích thước 90cmx3m người ta làm một máng xối nước trong đó mặt cắt là hình thang ABCD

* Hướng dẫn giải

Thể tích máng xối: \(V = {S_{ABCD}}.300  (c{m^3})\).

Vậy thể tích lớn nhất khi diện tích hình thang là lớn nhất.

\({S_{ABCD}} = \frac{1}{2}(BC + AD).CE\)

\(CE = CDsin\theta \)\( = 30.sin\theta \)

\(AD = BC + 2ED = 30 + 60cos\theta \)

\({S_{ABCD}} = 90sin\theta  + \frac{{90}}{2}sin2\theta \)

Đặt \(f(\theta ) = 90sin\theta  + \frac{{90}}{2}sin2\theta ,\theta  \in [0;\pi ]\)

\(f'(\theta ) = 90cos\theta  + \frac{{90}}{2}.2cos2\theta \)

\(f'(\theta ) = 0 \Leftrightarrow \cos \theta  + \cos 2\theta  = 0 \Leftrightarrow 2{\cos ^2}\theta  + \cos \theta  - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos \theta  = \frac{1}{2}\\\cos \theta  =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\theta  = \frac{\pi }{3}\\\theta  = \pi \end{array} \right.\).

\(f(0) = f(\pi ) = 0;f\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = 135\sqrt 3 \). Vậy GTLN của diện tích ABCD là \(135\sqrt 3 c{m^2}\).

Vậy thể tích máng xối lớn nhất bằng \(40500\sqrt 3 c{m^3}\) khi ta cạnh CD tạo với BC góc \({60^0}\).