Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCDcó cạnh đáy bằng \(a\sqrt 2 \), cạnh bên hợp với mặt đáy một góc \(60^\circ \). Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

* Hướng dẫn giải

Hình chóp tứ giác đều S.ABCD thì có đáy là hình vuông ABCD, đường cao của hình chóp vuông góc với mắt đáy tại tâm O của hình vuông. Tâm đường tròn ngoại tiếp hình chóp nằm trên đường thẳng qua O vuông góc với đáy, chính là SO. Gọi I là tâm. SI là bán kính.

ABCD là hình vuông  nên tính được OC=a;\(S0 = a\sqrt 3 \) ,  \(\widehat {SCO} = 60^\circ \)\(\Rightarrow \widehat {COS} = 30^\circ \)

IC=IS nên \( \Rightarrow \widehat {ICS} = 30^\circ \)\(\Rightarrow \widehat {ICA} = 30^\circ \)

Xét tam giác IOC vuông tại O 

\(\begin{array}{l} O{I^2} + O{C^2} = I{C^2}\\ \Rightarrow {\left( {a\sqrt 3 - SI} \right)^2} + {a^2} = S{I^2}\\ \Rightarrow SI = \frac{{2\sqrt 3 a}}{3} \end{array}\)