Lấy ngẫu nhiên hai số từ tập \(A = \left\{ {1;2;3; \ldots ;2020} \right\}\). Xác suất để chọn được hai số có tổng bình phương chia hết cho 5 là

* Hướng dẫn giải

Xét phép thử T: “Lấy ngẫu nhiên hai số từ tập A ”.

Suy ra \(n\left( \Omega \right) = {\rm{C}}_{2020}^2\).

Xét biến cố

 B: “Lấy hai số từ tập A sao cho tổng bình phương hai số đó chia hết cho 5”.

Tập A có 404 số chia hết cho 5; 404 số chia 5 dư 1;  404 số chia 5 dư 2; 404 số chia 5 dư 3;  404 số chia 5 dư 4.     

Ta có \({\left( {5k} \right)^2} = 25{k^2}\, \vdots \,5\);

           \({\left( {5k + 1} \right)^2} = 25{k^2} + 10k + 1 \equiv 1\left( {\bmod 5} \right)\);

          \({\left( {5k + 2} \right)^2} = 25{k^2} + 20k + 4 \equiv 4\left( {\bmod 5} \right)\);

          \({\left( {5k + 3} \right)^2} = 25{k^2} + 30k + 9 \equiv 4\left( {\bmod 5} \right)\);

          \({\left( {5k + 4} \right)^2} = 25{k^2} + 40k + 16 \equiv 1\left( {\bmod 5} \right)\).

Do vậy có các trường hợp sau:

TH1: Hai số được chọn cùng chia hết cho  5.Suy ra  có \(C_{404}^2\) cách chọn.

TH2: Một số chia 5 dư 1 và một số chia 5 dư  2.Suy ra có \(404 \cdot 404 = {404^2}\;\)cách chọn.

TH3: Một số chia 5 dư 1 và một số chia 5 dư 3.Suy ra có \(404 \cdot 404 = {404^2}\;\) cách chọn.

TH4: Một số chia 5 dư 4 và một số chia 5 dư 2.Suy ra có \(404 \cdot 404 = {404^2}\;\)cách chọn.

TH5: Một số chia 5 dư 4 và một số chia 5 dư  3. Suy ra có \(404 \cdot 404 = {404^2}\;\)cách chọn.

Suy ra \(n\left( B \right) = {\rm{C}}_{404}^2 + 4 \cdot {404^2}\).

Vậy xác suất để chọn được hai số có tổng bình phương chia hết cho 5 là

 \(P\left( B \right) = \frac{{n\left( B \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{{\rm{C}}_{404}^2 + 4 \cdot {{404}^2}}}{{{\rm{C}}_{2020}^2}} = \frac{{727}}{{2019}}\).