Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy. Góc tạo bởi đường thẳng SB và mặt phẳng (ABCD) bằng \(60^0\). Gọi M là trung đi...

* Hướng dẫn giải

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l} \left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\ \left( {SAD} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\ \left( {SAB} \right) \cap \left( {SAD} \right) = SA \end{array} \right. \Rightarrow SA \bot \left( {ABCD} \right)\).

Suy ra \(\left( {SB;\left( {ABCD} \right)} \right) = \widehat {SBA} = {60^o}\).

Ta có \(SA = AB \cdot \tan {60^o} = a\sqrt 3 .\)

Gọi K là trung điểm của AD. Suy ra \(BK\,{\rm{//}}\,DM\).

Do đó \({\rm{d}}\left( {DM,SB} \right) = {\rm{d}}\left( {D,\left( {SBK} \right)} \right)\).

Mà \(\frac{{{\rm{d}}\left( {D,\left( {SBK} \right)} \right)}}{{{\rm{d}}\left( {A,\left( {SBK} \right)} \right)}} = \frac{{DK}}{{AK}} = 1\) nên \({\rm{d}}\left( {DM,SB} \right) = {\rm{d}}\left( {A,\left( {SBK} \right)} \right)\). (1)

Tứ diện ASBK có \(SA \bot AB;\;SA \bot AK;\;AB \bot AK\).

Suy ra tứ diện ASBK vuông tại A.

\( \Rightarrow \frac{1}{{{{\rm{d}}^2}\left( {A,\left( {SBK} \right)} \right)}} = \frac{1}{{A{K^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{S{A^2}}} = \frac{4}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{3{a^2}}} = \frac{{16}}{{3{a^2}}}\)

 \( \Rightarrow {\rm{d}}\left( {A,\left( {SBK} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\)(2)

Từ (1), (2) suy ra \({\rm{d}}\left( {DM,SB} \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\).