Cho hàm số liên tục trên và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ dưới đây Số nghiệm thuộc khoảng \(\left( {\frac{\pi }{2};3\pi } \right)\) của phương trình \({\left[ {f(\cos...

* Hướng dẫn giải

Ta có  \({\left[ {f\left( {\cos x} \right)} \right]^2} - 3f\left( {\cos x} \right) + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} f\left( {\cos x} \right) = 1\\ f\left( {\cos x} \right) = 2 \end{array} \right.\)

Đặt cos x = u,

Lập BBT của hàm số u=cos x trên \(\left( {\frac{\pi }{2};3\pi } \right)\).

Phương trình trở thành: \(\left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} f(u) = 1\\ - 1 \le u \le 1 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} f(u) = 2\\ - 1 \le u \le 1 \end{array} \right. \end{array} \right.(*)\).  

Từ đồ thị hàm số ta có:       

\(\left[ \begin{array}{l} u = 0\\ u = a \end{array} \right.,\left( {0 < a < 1} \right) \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos x = 0(1)\\ \cos x = a(2) \end{array} \right.\left( {0 < a < 1} \right)\)

Dựa vào BBT của hàm số u=cos x trên \(\left( {\frac{\pi }{2};3\pi } \right)\),  ta có: \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{{3\pi }}{2}\\ x = \frac{{5\pi }}{2} \end{array} \right.\)

(2)  có 2 nghiệm phân biệt thuộc khoảng \(\left( {\frac{\pi }{2};3\pi } \right)\) và khác  \(\frac{{3\pi }}{2};\,\,\frac{{5\pi }}{2}\)

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt.