Cho lăng trụ đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng 10, cạnh bên bằng 20. Gọi M,N, P lần lượt là các điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {MA} = - \overrightarrow {MC'} ;\,\,\overrightarrow...

* Hướng dẫn giải

Gọi V là thể tích khối lăng trụ và \(V_1\) là thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm \(A',B',C',M,N,P\).

\(V = 20.\frac{{{{10}^2}\sqrt 3 }}{4} = 500\sqrt 3 \)

Ta có \({V_1} = {V_{C'.ABB'A'}} - {V_{AA'BM}} - {V_{BMNP}} - {V_{BB'NP}}\)

\({V_{C'.ABB'A'}} = V - {V_{C'ABC}} = V - \frac{1}{3}V = \frac{2}{3}V\).

\({V_{AA'BM}} = \frac{1}{3}d\left( {M,\left( {AA'B} \right)} \right).{S_{AA'B}} = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}d\left( {C',\left( {AA'B} \right)} \right).\frac{1}{2}{S_{ABB'A'}} = \frac{1}{4}{V_{C'.ABB'A'}} = \frac{1}{6}V\).

\({V_{BMNP}} = \frac{1}{3}d\left( {N,\left( {BMP} \right)} \right).{S_{BMP}} = \frac{1}{3}.\frac{2}{3}d\left( {A',\left( {ABC'} \right)} \right).\frac{3}{4}.\frac{1}{2}{S_{ABC'}} = \frac{1}{4}{V_{A'ABC'}} = \frac{1}{{12}}V\).

\(\frac{{{V_{BB'NP}}}}{{{V_{BB'A'C'}}}} = \frac{{BN.BP}}{{BA'.BC'}} = \frac{2}{3}.\frac{3}{4} = \frac{1}{2} \Rightarrow {V_{BB'NP}} = \frac{1}{2}{V_{BB'A'C'}} = \frac{1}{6}V\)

Suy ra \({V_1} = \frac{2}{3}V - \frac{1}{6}V - \frac{1}{{12}}V - \frac{1}{6}V = \frac{1}{4}V = 125\sqrt 3 \) .