Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh 2a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng đáy bằng 60o. Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S...

* Hướng dẫn giải

Tâm O của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC  là giao điểm của trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và mặt phẳng trung trực đoạn SA (thể hiện trên hình vẽ).

Bán kính mặt cầu là  R = OA.

Vì BC vuông góc với AI, SI nên góc giữa (SBC) và (ABC) là \(\widehat {SIA} = {60^0}.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}
 + AI = AB\frac{{\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 ;{\rm{ }}AG = \frac{2}{3}AI = \frac{2}{3}a\sqrt 3 .\\
 + SA = AI.\tan {60^0} = a\sqrt 3 .\sqrt 3  = 3a \Rightarrow MA = \frac{{3a}}{2}.\\
 + R = OA = \sqrt {O{G^2} + A{G^2}}  = \sqrt {M{A^2} + A{G^2}}  = \sqrt {\frac{{9{a^2}}}{4} + \frac{{12}}{9}{a^2}}  = \frac{{a\sqrt {129} }}{6}.
\end{array}\)

Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC bằng:

\(S = 4\pi {R^2} = 4\pi {\left( {\frac{{a\sqrt {129} }}{6}} \right)^2} = \frac{{43\pi {a^2}}}{3}.\)