Cho hàm số \(f(x) = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} \cdot \) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(g(x) = (x + 1)f'(x)\) là

* Hướng dẫn giải

\(\begin{array}{l}
\int {g(x)dx}  = \int {(x + 1)f'(x)} dx = \int {(x + 1)d\left( {f(x)} \right)}  = (x + 1)f(x) - \int {f(x)d(x + 1)} \\
{\rm{             }} = (x + 1)\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} - \int {\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}dx = } (x + 1)\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} - \int {\frac{{d\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }}} \\
{\rm{             }} = (x + 1)\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} - \sqrt {{x^2} + 1}  + C = \frac{{x - 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} + C.
\end{array}\)