Xét các số thực không âm x và y thỏa mãn \(2x + y{.4^{x + y - 1}} \ge 3\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {x^2} + {y^2} + 2x + 4y\) bằng

* Hướng dẫn giải

\(2x + y{.4^{x + y - 1}} \ge 3 \Leftrightarrow y{.2^{2y}} \ge (3 - 2x){.4^{1 - x}} \Leftrightarrow 2y{.2^{2y}} \ge (3 - 2x){.2^{3 - 2x}}(1).\)

+ Nếu \(3 - 2x \le 0 \Leftrightarrow x \ge \frac{3}{2}\): (1) đúng với mọi \(y \ge 0.\) Ta có:

\(P = {x^2} + {y^2} + 2x + 4y \ge {\left( {\frac{3}{2}} \right)^2} + {0^2} + 2.\frac{3}{2} + 4.0 = \frac{{21}}{4}.\)

+ Nếu \(3 - 2x \ge 0 \Leftrightarrow x \le \frac{3}{2}:\) Hàm số  \(f(t) = t{.2^t}\) đồng biến trên \({\rm{[}}0; + \infty )\), do đó:

\((1) \Leftrightarrow 2y \ge 3 - 2x \Leftrightarrow 2x + 2y - 3 \ge 0 \Leftrightarrow y \ge \frac{3}{2} - x.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}
P = {x^2} + {y^2} + 2x + 4y \ge {x^2} + {\left( {\frac{3}{2} - x} \right)^2} + 2x + 4.\left( {\frac{3}{2} - x} \right) = 2{x^2} - 5x + \frac{{33}}{4}\\
P \ge 2{\left( {x - \frac{5}{4}} \right)^2} + \frac{{41}}{8} \ge \frac{{41}}{8} < \frac{{21}}{4},{\rm{  = }} \Leftrightarrow x = \frac{5}{4} < \frac{3}{2},{\rm{ }}y = \frac{3}{2} - \frac{5}{4} = \frac{1}{4} > 0.
\end{array}\)

Vậy \(\min P = \frac{{41}}{8}.\)