Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng \(a\sqrt 2 \) và O là tâm của đáy. Gọi M, N, P, Q lần lượt là các điểm đối xứng với O qua trọng tâm của các tam giác SAB,...

* Hướng dẫn giải

Gọi E, F, I, J lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA;  \({G_1},{G_2},{G_3},{G_4}\) lần lượt là trọng tâm các tam giác SAB,SBC,SCD,SDA.

EFI J là hình vuông cạnh \({\rm{FI}} = \frac{{BD}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\), \({G_1}{G_2}{G_3}{G_4}\) là hình vuông cạnh \({G_2}{G_3} = \frac{2}{3}FI = \frac{2}{3}\frac{{a\sqrt 2 }}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{3}\), MNPQ là hình vuông cạnh \(NP = 2{G_2}{G_3} = \frac{{2a\sqrt 2 }}{3}\).

Gọi K, H lần lượt là tâm các hình vuông \({G_1}{G_2}{G_3}{G_4}\) và MNPQ, ta có:

\(\begin{array}{l}
SO = \sqrt {S{B^2} - O{B^2}}  = \sqrt {{{(a\sqrt 2 )}^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}.\\
KO = \frac{1}{3}SO = \frac{1}{3}\frac{{a\sqrt 6 }}{2} = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}.
\end{array}\) 

\(\begin{array}{l}
OH = 2OK = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}.\\
S'H = S'O + OH = SO + OH = \frac{{a\sqrt 6 }}{2} + \frac{{a\sqrt 6 }}{3} = \frac{{5a\sqrt 6 }}{6}.
\end{array}\)

Thể tích của khối chóp \(S'.MNPQ\)

\(V = \frac{1}{3}{S_{MNPQ}}.S'H = \frac{1}{3}{\left( {\frac{{2a\sqrt 2 }}{3}} \right)^2}.\frac{{5a\sqrt 6 }}{6} = \frac{{20{a^3}\sqrt 6 }}{{81}}.\)