Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và AA' = 2a. Gọi M là trung điểm của AA' (tham khảo hình bên). Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (AB'C) bằng

* Hướng dẫn giải

Gọi N là trung điểm BB’, H là trung điểm AC và K là hình chiếu vuông góc của B trên B’H. Ta có BK vuông góc với  mp(AB’C).

Vì MN cắt AB’ tại trung điểm nên:  d(M,(AB’C)) = d(N,(AB’C)).

Vì  \(NB' = \frac{1}{2}BB'\) nên:  d(N,(AB’C)) = 1/2d(B,(AB’C)) = 1/2.BK.

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\frac{1}{{B{K^2}}} = \frac{1}{{B'{B^2}}} + \frac{1}{{B{H^2}}} = \frac{1}{{{{(2a)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}} = \frac{1}{{4{a^2}}} + \frac{4}{{3{a^2}}} = \frac{{19}}{{12{a^2}}}\\
 \Rightarrow BK = \frac{{2a\sqrt {57} }}{{19}} \Rightarrow d(M,(AB'C)) = \frac{1}{2}BK = \frac{{a\sqrt {57} }}{{19}}.
\end{array}\)