Có bao nhiêu số nguyên x sao cho ứng với mỗi x có không quá 127 số nguyên y thỏa mãn \){\log _3}\left( {{x^2} + y} \right) \ge {\log _2}(x + y)?\)

* Hướng dẫn giải

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + y > 0\\
x + y > 0\\
x,y \in 
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + y \ge 1\\
x,y \in 
\end{array} \right..\)

Đặt  \(t = x + y{\rm{ }}(t \in ,{\rm{ }}t \ge 1)\), ta có:

\({\log _3}\left( {{x^2} + y} \right) \ge {\log _2}(x + y) \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{x^2} - x + t} \right) - {\log _2}t \ge 0{\rm{ }}(1).\)

Do mỗi y tương ứng với một và chỉ một t nên ứng với mỗi x có không quá 127 số nguyên y thỏa mãn \({\log _3}\left( {{x^2} + y} \right) \ge {\log _2}(x + y)\) khi và chỉ khi ứng với mỗi x có không quá 127 số nguyên t > = 1 thỏa mãn  (1).

Hàm số   \(f(t) = {\log _3}\left( {{x^2} - x + t} \right) - {\log _2}t\)  có:

\(f'(t) = \frac{1}{{\left( {{x^2} - x + t} \right)\ln 3}} - \frac{1}{{t\ln 2}} < 0,\forall x,t \in \)

\( \Rightarrow f(1) > f(2) > ... > f(127) > f(128) > ...\)  (f nghịch biến trên \({\rm{[}}1; + \infty )\))

Xét (1) với ẩn t. Ta thấy (1) luôn nhận t = 1 làm  nghiệm với bất kỳ x nguyên nào vì  

\({x^2} - x + 1 \ge 1 \Rightarrow {\log _3}({x^2} - x + 1) - {\log _2}1 \ge {\log _3}1 - {\log _2}1 = 0.\)

Khi đó các nghiệm tiếp theo của (1), nếu có, sẽ phải được lấy lần lượt là 2, 3, 4, … bởi vì nếu t > =2 không là nghiệm của (1) thì \(f({t_0}) < 0\) và với mọi \(t > {t_0}\), ta có \(f(t) < f({t_0}) < 0\) nên t cũng không là nghiệm của (1).

Do đó ứng với mỗi x có không quá 127 số nguyên t thỏa mãn  (1) khi và chỉ khi ứng với mỗi  x , (1)  có không quá 127 nghiệm t khi và chỉ  khi:

\(\begin{array}{l}
f(128) < 0 \Leftrightarrow {\log _3}({x^2} - x + 128) - {\log _2}128 < 0 \Leftrightarrow {x^2} - x + 128 < {3^7}\\
 \Leftrightarrow {x^2} - x - 2059 < 0 \Rightarrow  - 44,9 < x < 45,9 \Rightarrow  - 44 \le x \le 45.
\end{array}\)

Vậy có tất cả 45 – (- 44) +1 = 90 số nguyên x.