Cho hàm số bậc bốn y = f(x) có đồ thị là đường cong trong hình bên.

* Hướng dẫn giải

\(\begin{array}{l}
f\left( {{x^2}f(x)} \right) + 2 = 0 \Leftrightarrow f\left( {{x^2}f(x)} \right) =  - 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x^2}f(x) = 0{\rm{              (1)}}\\
{x^2}f(x) = {t_1} \in (0;1){\rm{  (2)}}\\
{x^2}f(x) = {t_2} \in (2;3){\rm{ (3)}}\\
{x^2}f(x) = {t_1} \in (3;4){\rm{ (4)}}
\end{array} \right.\\
 + (1) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x^2} = 0\\
f(x) = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = {x_1} \in ( - 1;0)\\
x = {x_2} \in (3;4)
\end{array} \right.\\
 + (2) \Leftrightarrow f(x) = \frac{{{t_1}}}{{{x^2}}}
\end{array}\)

 Hàm số  \(g(x) = \frac{{{t_1}}}{{{x^2}}}\)  có \(g'(x) =  - \frac{{2{t_1}}}{{{x^3}}}.{\rm{ }}g'(x) > 0 \Leftrightarrow x < 0,{\rm{ }}g'(x) < 0 \Leftrightarrow x > 0.\)

Do đó đồ thị  hàm số y = g(x) cắt đồ thị hàm số y = f(x) tại 2 điểm phân biệt nên (2) có 2 nghiệm phân biệt.

Tương tự, (3) cũng có 2 nghiệm phân biệt, (4) cũng có 2 nghiệm phân biệt.  Dễ kiểm tra 6 nghiệm của (2), (3) và (4) là phân biệt và  mỗi nghiệm bé hơn x₁ hoặc lớn hơn x₂.   

Vậy số nghiệm thực phân biệt của phương trình \(f\left( {{x^2}f(x)} \right) + 2 = 0\) là 9.