Gọi lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn . Tính .

* Hướng dẫn giải

\(\begin{array}{l} f'\left( x \right) = 6{x^2} + 6x\\ \Rightarrow {\rm{ }}f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0 \notin \left[ { - 2; - \frac{1}{2}} \right]\\ x = - 1 \in \left[ { - 2; - \frac{1}{2}} \right] \end{array} \right.. \end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} f\left( { - 2} \right) = - 5\\ f\left( { - 1} \right) = 0\\ f\left( { - \frac{1}{2}} \right) = - \frac{1}{2} \end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} m = \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2; - \frac{1}{2}} \right]} f\left( x \right) = - 5\\ M = \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2; - \frac{1}{2}} \right]} f\left( x \right) = 0 \end{array} \right.\\ \Rightarrow P = M - m = 5. \end{array}\)