Câu 46 mã đề 101 Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn |z-3i|=5

* Hướng dẫn giải

Đặt \(z = x + yi,(x,y \in \mathbb{R})\)

\(\left| {z - 3i} \right| = \sqrt {{x^2} + {{(y - 3)}^2}}  = 5 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 6y = 16\)

\(\frac{z}{{z - 4}} = \frac{{x + yi}}{{x - 4 + yi}} = \frac{{(x + yi)(x - 4 - yi)}}{{{{(x - 4)}^2} + {y^2}}} = \frac{{{x^2} - 4x + {y^2}}}{{{{(x - 4)}^2} + {y^2}}} - \frac{{4yi}}{{{{(x - 4)}^2} + {y^2}}}\)

\(\frac{z}{{z - 4}}\) là số thuần ảo nên \(\frac{{{x^2} - 4x + {y^2}}}{{{{(x - 4)}^2} + {y^2}}} = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + {y^2} = 0\)

Ta có hệ: \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} - 6y = 16\\{x^2} + {y^2} - 4x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 0\end{array} \right.(loai)\\\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{16}}{{13}}\\y = \frac{{ - 24}}{{13}}\end{array} \right.\end{array} \right.\\\end{array}\) \( \Rightarrow z = \frac{{16}}{{13}} - \frac{{24}}{{13}}i.\)

Vậy chỉ có 1 số phức z thỏa mãn.