Câu 49 mã đề 101 Cho hàm số y=f(x) Đồ thị của hàm số y = f(x) như hình bên h(x)=2f(x)-x^2

* Hướng dẫn giải

Gọi d là đường thẳng đi qua hai điểm (2;2) và (4;4), d có dạng: y=ax+b

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}2a + b = 2\\4a + b = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 0\end{array} \right.\)

Suy ra phương trình của d là: y=x

Theo đề bài ta có:

\(h(x) = 2f(x) - {x^2} \Rightarrow h'(x) = 2f'(x) - 2x = 2\left[ {f'(x) - x} \right]\)

\(\begin{array}{l}\int\limits_2^4 {h'(x)dx}  = \int\limits_2^4 {2[f'(x) - x{\rm{]}}dx}  =  - 2\int\limits_2^4 {\left[ {x - f'(x)} \right]dx} \\ \Leftrightarrow \left. {h(x)} \right|_2^4 =  - 2{S_1} \Leftrightarrow h(4) - h(2) =  - 2{S_1} < 0\\ \Rightarrow h(2) > h(4)\,\,\,(1)\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\int\limits_{ - 2}^4 {h'(x)dx}  = \int\limits_{ - 2}^4 {2\left[ {f'(x) - x} \right]dx}  = 2\int\limits_{ - 2}^2 {\left[ {f'(x) - x} \right]dx}  + 2\int\limits_2^4 {\left[ {f'(x) - x} \right]dx} \\ \Rightarrow \int\limits_{ - 2}^4 {h'(x)dx}  = 2\int\limits_{ - 2}^2 {\left[ {f'(x) - x} \right]dx}  - 2\int\limits_2^4 {\left[ {x - f'(x)} \right]dx} \\ \Leftrightarrow \left. {h(x)} \right|_{ - 2}^4 = 2({S_2} - {S_1}) \Leftrightarrow h(4) - h( - 2) = 2({S_2} - {S_1}) > 0\\ \Rightarrow h(4) > h( - 2)\end{array}\)

Từ (1) và (2) ta có: \(h(2) > h(4) > h( - 2).\)