Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng và mặt cầu .

* Hướng dẫn giải

Mặt cầu (S) có tâm là I(1;2;1) và bán kính \(R = \sqrt 2 \)

Gọi \(H\left( {{x_H};{y_H};{z_H}} \right)\) là hình chiếu của I lên (d). Khi đó, ta có:

\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} H \in \left( d \right)\\ IH \bot \left( d \right) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{{{x_H} - 2}}{2} = \frac{{{y_H}}}{{ - 1}} = \frac{{{z_H}}}{4} = k\\ \overrightarrow {IH} .\overrightarrow {{u_d}} = 0 \end{array} \right.\\ \Rightarrow H\left( {2k + 2; - k;4k} \right) \Rightarrow \overrightarrow {IH} = \left( {2k + 1; - k - 2;4k - 1} \right)\\ \overrightarrow {{u_d}} = \left( {2; - 1;4} \right)\\ \overrightarrow {IH} .\overrightarrow {{u_d}} \Leftrightarrow \left( {2k + 1} \right).2 + \left( { - k - 2} \right).\left( { - 1} \right) + \left( {4k - 1} \right).4 = 0\\ \Leftrightarrow k = 0 \Rightarrow H\left( {2;0;0} \right)\\ \Rightarrow IH = \sqrt {{{\left( {2 - 1} \right)}^2} + {{\left( {0 - 2} \right)}^2} + {{\left( {0 - 1} \right)}^2}} = \sqrt 6 \end{array}\)

Gọi K là giao điểm của IH và MN. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông MIH có:

\(\begin{array}{l} MK.IH = MI.MH = MI.\sqrt {I{H^2} - I{M^2}} \\ \Rightarrow MN = 2.MK = 2.\frac{{IM.\sqrt {I{H^2} - I{M^2}} }}{{IH}}\\ \Rightarrow MN = 2.\frac{{\sqrt 2 .\sqrt {6 - 2} }}{{\sqrt 6 }} = \frac{4}{{\sqrt 3 }} \end{array}\)