Cho hai điểm và mặt phẳng Đường thẳng d nằm trên (P) sao cho mọi điểm của d và cách đều hai điểm A, B có phương trình là

* Hướng dẫn giải

Gọi K là điểm bất kì trên (d).

Theo giả thiết: KA = KB tức là tam giác KAB cân, điều này chỉ xảy ra khi (d) nằm trên mặt phẳng (Q) là mặt phẳng trung trực của AB.

Ta đi xác định (Q)

Gọi M là trung điểm AB thì:

\(M\left( {\frac{{3 + 0}}{2};\frac{{3 + 2}}{2};\frac{{1 + 1}}{2}} \right) \Rightarrow M\left( {\frac{3}{2};\frac{5}{2};1} \right)\)

Mặt phẳng (Q) đi qua M và vuông góc với AB tức là nhận \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 3; - 1;0} \right)\) là vectơ pháp tuyến. Dó đó:

\(\begin{array}{l} \left( Q \right): - 3\left( {x - \frac{3}{2}} \right) - 1\left( {y - \frac{5}{2}} \right) + 0\left( {z - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( Q \right):3x + y - 7 = 0 \end{array}\)

Do đó, (d) là giao tuyến của (P) và (Q) nên là nghiệm của hệ:

 \(\left\{ \begin{array}{l} x + y + z - 7 = 0\\ 3x + y - 7 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = t\\ y = 7 - 3t\\ z = 2t \end{array} \right.\left( {t \in R} \right).\)