Cho hai đường thẳng và . Mặt phẳng cách đều hai đường thẳng d1 và d2 có phương trình là

* Hướng dẫn giải

Dễ dàng nhận thấy hai đường thẳng d₁, d₂ chéo nhau. Ý tưởng ở đây là tìm hai điểm \({H_1} \in \left( {{d_1}} \right)\); \({H_2} \in \left( {{d_2}} \right)\) sao cho H₁H₂ là đường vuông góc chung của d₁, d₂.

\(\begin{array}{l} {H_1} \in \left( {{d_1}} \right);{H_2} \in \left( {{d_2}} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {H_1}\left( {2 + a;1 - a;2a} \right)\\ {H_2}\left( {2 - 2b;3;b} \right) \end{array} \right.\\ \Rightarrow \overrightarrow {{H_1}{H_2}} = \left( { - 2b - a;a + 2;b - 2a} \right)\\ \overrightarrow {{u_{{d_1}}}} = \left( {1; - 1;2} \right);\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} = \left( { - 2;0;1} \right)\\ \left\{ \begin{array}{l} {H_1}{H_2} \bot {d_1}\\ {H_1}{H_2} \bot {d_2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {{H_1}{H_2}} .\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} = 0\\ \overrightarrow {{H_1}{H_2}} .\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} = 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left( { - 2b - a} \right) - \left( {a + 2} \right) + 2\left( {b - 2a} \right) = 0\\ - 2.\left( { - 2b - a} \right) + 0\left( {a + 2} \right) + \left( {b - 2a} \right) = 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 6a - 2 = 0\\ 5b = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = \frac{{ - 1}}{3}\\ b = 0 \end{array} \right.\\ \Rightarrow {H_1}\left( {\frac{5}{3};\frac{4}{3};\frac{{ - 2}}{3}} \right);{H_2}\left( {2;3;0} \right) \end{array}\)

Mặt phẳng cần tìm (P) đi qua trung điểm M của H₁H₂ và vuông góc với H₁H₂ nên:

 \(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} M\left( {\frac{{11}}{6};\frac{{13}}{6};\frac{{ - 1}}{3}} \right) \in \left( P \right)\\ \overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \overrightarrow {{H_1}{H_2}} = \left( {\frac{1}{3};\frac{5}{3};\frac{2}{3}} \right) \end{array} \right.\\ \Rightarrow \left( P \right):x + 5y + 2z - 12 = 0 \end{array}\)