Cho A(5;1;3), B(-5;1;-1), C(1;-3;0), D(3;-6;2). Tọa độ của điểm A đối xứng với A qua mặt phẳng (BCD) là

* Hướng dẫn giải

Mặt phẳng \(\left( {BCD} \right):ax + by + cz + d = 0\) nên có:

\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} a\left( { - 5} \right) + b.1 + c.\left( { - 1} \right) + d = 0\\ a.1 + b.\left( { - 3} \right) + c.0 + d = 0\\ a.3 + b.\left( { - 6} \right) + c.2 + d = 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = \frac{d}{5}\\ b = \frac{{2d}}{5}\\ c = \frac{{2d}}{5} \end{array} \right. \Rightarrow \left( {BCD} \right):x + 2y + 2z + 5 = 0 \end{array}\)

Gọi \(H\left( {{x_H};{y_H};{z_H}} \right)\) là hình chiếu của A lên (BCD), ta có:

\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} H \in \left( P \right)\\ AH \bot \left( P \right) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_H} + 2{y_H} + 2{z_H} + 5 = 0\\ \overrightarrow {AH} = k.\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = k.\left( {1;2;2} \right) \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_H} + 2{y_H} + 2{z_H} + 5 = 0\\ \frac{{{x_H} - 5}}{1} = \frac{{{y_H} - 1}}{2} = \frac{{{z_H} - 3}}{2} = k \end{array} \right.\\ \Rightarrow {x_H} = k + 5;{y_H} = 2k + 1;{z_H} = 2k + 3\\ \Rightarrow \left( {k + 5} \right) + 2\left( {2k + 1} \right) + 2\left( {2k + 3} \right) + 5 = 0\\ \Leftrightarrow 9k + 18 = 0 \Leftrightarrow k = - 2\\ \Rightarrow H\left( {3; - 3; - 1} \right) \end{array}\)

Khi đó, A' đối xứng với A qua (BCD) khi và chỉ khi H là trung điểm AA". Do đó ta có:

\(\begin{array}{l} A'\left( {2.3 - 5;2.\left( { - 3} \right) - 1;2.\left( { - 1} \right) - 3} \right)\\ \Rightarrow A'\left( {1; - 7; - 5} \right) \end{array}\)