Cho điểm M(1;0;0) và đường thẳng Gọi M'(a;b;c) là điểm đối xứng với M qua d. Giá trị của a-b+c là

* Hướng dẫn giải

Ta có: \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {1;2;1} \right)\).

Mặt phẳng (P) đi qua M và vuông góc với (d) hay nhận \(\overrightarrow {{u_d}} \) là vecto pháp tuyến là

\(\begin{array}{l} 1.\left( {x - 1} \right) + 2.\left( {y - 0} \right) + 1.\left( {z - 0} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x + 2y + z - 1 = 0 \end{array}\)

Giao điểm \(H\left( {{x_H};{y_H};{z_H}} \right)\) của (d) và (P) chính là hình chiếu vuông góc của M lên (d), ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l} \frac{{{x_H} - 1}}{1} = \frac{{{y_H} - 1}}{2} = \frac{{{z_H}}}{1}\\ {x_H} + 2{y_H} + {z_H} - 1 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow H\left( {\frac{2}{3};\frac{1}{3};\frac{{ - 1}}{3}} \right)\)

M' đối xứng với M qua (d) khi và chỉ khi H là trung điểm MM'. Do đó, ta có:

\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} a = 2.\frac{2}{3} - 1\\ b = 2.\frac{1}{3} - 0\\ c = 2.\left( { - \frac{1}{3}} \right) - 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = \frac{1}{3}\\ b = \frac{2}{3}\\ c = - \frac{2}{3} \end{array} \right.\\ \Rightarrow a - b + c = - 1 \end{array}\)