Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(-4;-2;4) và đường thẳng . Viết phương trình đường thẳng đi qua A, cắt và vuông góc với đường thẳng d.

* Hướng dẫn giải

Gọi \(B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)\) là giao điểm của (d) với \((\Delta)\). Khi đó, ta có:

\(\begin{array}{l} \frac{{{x_B} + 3}}{2} = \frac{{{y_B} - 1}}{{ - 1}} = \frac{{{z_B} + 1}}{4} = k\\ \Rightarrow B\left( {2k - 3; - k + 1;4k - 1} \right)\\ \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( {2k + 1; - k + 3:4k - 5} \right);\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2; - 1;4} \right)\\ AB \bot \left( d \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_d}} = 0\\ \Leftrightarrow 2\left( {2k + 1} \right) - \left( { - k + 3} \right) + 4.\left( {4k - 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow k = \frac{{21}}{{21}} = 1 \Rightarrow B\left( { - 1;0;3} \right);\left( {3;2; - 1} \right) \end{array}\)

Phương trình \((\Delta)\) chính là phương trình AB và là:

\(\Delta :\frac{{x + 4}}{3} = \frac{{y + 2}}{2} + \frac{{z - 4}}{{ - 1}}\)